关键要点
一般情况下，离散点不共面，中间补充点的 z 值可以通过最佳拟合平面计算，简单且合理。
使用最小二乘法找到 z = ax + by + c 的系数 a, b, c，基于点的 x, y 坐标计算 z 值。
计算 z 值的步骤
找到最佳拟合平面
收集多边形顶点的坐标 (x_i, y_i, z_i)，用最小二乘法求解 z = ax + by + c。
公式为：最小化 ∑(z_i – ax_i – by_i – c)^2，解线性方程组得到 a, b, c。
计算 z 值
对于多边形内的点 (x, y)，用 z = ax + by + c 计算 z 值。
以下是计算 z 值的具体方法，采用 C++ 实现：
1. 找到最佳拟合平面
假设有 n 个点 (x_i, y_i, z_i)，目标是找到平面 z = ax + by + c，最小化误差 ∑(z_i – ax_i – by_i – c)^2。
这是一个线性最小二乘问题，解法如下：
建立方程组：
a∑x_i^2 + b∑x_iy_i + c∑x_i = ∑x_iz_i
a∑x_iy_i + b∑y_i^2 + c∑y_i = ∑y_iz_i
a∑x_i + b∑y_i + c*n = ∑z_i
用线性代数库如 Eigen 求解，代码示例：
cpp
#include <iostream>
#include <vector>
#include <Eigen/Dense>
// Function to solve for the best-fit plane coefficients a, b, c
std::tuple<double, double, double> bestFitPlane(const std::vector<std::tuple<double, double, double>>& points) {
int n = points.size();
Eigen::MatrixXd A(n, 3);
Eigen::VectorXd B(n);
for (int i = 0; i < n; ++i) {
double x, y, z;
std::tie(x, y, z) = points[i];
A(i, 0) = x;
A(i, 1) = y;
A(i, 2) = 1;
B(i) = z;
}
Eigen::VectorXd coefficients = A.colPivHouseholderQr().solve(B);
double a = coefficients(0);
double b = coefficients(1);
double c = coefficients(2);
return std::make_tuple(a, b, c);
}
int main() {
std::vector<std::tuple<double, double, double>> points = {
{0, 0, 0},
{1, 0, 1},
{1, 1, 2},
{0, 1, 1}
};
double a, b, c;
std::tie(a, b, c) = bestFitPlane(points);
std::cout << "Plane equation: z = " << a << "x + " << b << "y + " << c << std::endl;
return 0;
}
这样得到 a, b, c，平面方程为 z = ax + by + c。
2.确定点是否在多边形内（这步已经获得，考虑可以省略）
3.计算 z 值
对于多边形内的点 (x, y)，用 z = ax + by + c 计算 z 值。
代码示例：
cpp
double calculateZValue(double x, double y, double a, double b, double c) {
return a * x + b * y + c;
}
4.中间补充点的 z 值
这种方法简单，适合交通设计中地形。
